Bởi vì đối với phương trình bậc hai có quy trình giải rất rõ ràng bằng công thức nghiệm (đầy đủ hoặc thu gọn).
Mặc dù vậy khi gặp các bài tập mà hệ số a (của phương trình dạng ax2 + bx + c = 0) có chứa tham số thì việc xét thiếu trường hợp, không chặt chẽ là rất dễ xảy ra. Sau đây là kinh nghiệm dạy học về biện luận số nghiệm phương trình có dạng dạng ax2 + bx + c = 0
1. Đưa ra bài tập tường minh, dễ biện luận (hệ số a không chứa tham số)
Khi các em mới bắt đầu làm quen với bài tập thì chúng ta đưa ra các bài tập đơn giản, không đòi hỏi phải xét một lúc nhiều điều kiện. Điều này vừa giúp các em ôn tập lại công thức nghiệm, vừa giúp các em bước đầu làm quen với việc biện luận phương trình bậc hai.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
7x2 - 2x + m - 5 = 0
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình có nghiệm kép:
x2 - 3mx + 2 = 0
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình vô nghiệm:
x2 - 2 (m + 1)x + m2 - 3 = 0
Đối với các bài tập trên các em sẽ thấy hệ số a khác 0 nên chắc chắn các phương trình là phương trình bậc hai, khi này biện luận số nghiệm chỉ cần dựa vào việc xét dấu của biệt thức delta.
2. Đưa ra bài tập tường minh nhưng có thêm điều kiện của hệ số a (Hệ số a có chứa tham số)
Sau khi các em đã bước đầu nắm được cách biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai, giáo viện nâng tầm các bài tập lên bằng cách giữ nguyên các yêu cầu đề bài như trên nhưng làm mạnh giả thiết bằng cách đưa thêm tham số vào hệ số a.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
(m - 3)x2 + 2mx + m + 1 = 0
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình có nghiệm kép:
(m + 2)x2 - (4m - 1)x + 4m - 6 = 0
ở hai loại bài tập trên vì yêu cầu đề bài là phương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình có nghiệm kép nên bắt buộc các phương trình là phương trình bậc hai; nhưng do hệ số a có chứa tham số nên ngoài việc xét dấu của biệt thức delta, HS còn phải tìm điều kiện để cho hệ số a khác 0.
3. Đưa ra loại bài tập phải biện luận trường hợp.
Đến lúc này học sinh đã thấy được các trường hợp khác nhau của bài tập biện luận (hệ số a có chứa tham số hoặc không chứa tham số; hệ số a bằng không hoặc khác không), giáo viên có thể đưa ra các bài tập đòi hỏi tính bao quát và khả năng tư duy linh hoạt như tìm để phương trình có nghiệm, phương trình vô nghiệm, phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 1: Tìm m đê phương trình sau có nghiệm:
(m - 1)x2 - 8 (m + 2)x + 16m - 3 = 0
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình vô nghiệm:
(2m - 1)x2 + 4mx + 2m - 3 = 0
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất:
mx2 - 10mx + 25m - 3 = 0
Đối với loại bài tập này, có thể nói rằng yêu cầu của đề bài chưa tường minh. Ví dụ để phương trình có nghiệm thì không đòi hỏi phải là phương trình bậc hai (nếu là phương trình bậc nhất thì đương nhiên có nghiệm). Vì vậy đối với loại bài tập này giáo viên hướng cho các em phải xét hai trường hợp: trường hợp 1 hệ số a bằng không và trường hợp 2 hệ số a khác không.
4. Một số bài tập phát triển.
Bài tập 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác)
Chứng minh phương trình: x2 + (a + b + c)x +ab + bc + ac = 0 vô nghiệm.
Bài tập 2:
Chứng minh phương trình (m - 3)x2 - 2 (m + 1)x + 1 - 3m = 0 có nghiệm với mọi m.
Bài tập 3: Giải và biện luận phương trình: (k2 - 4)x2 + 2(k + 2) + 1 = 0
Bài tập 4:
Cho 3 số dương đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện
a + b + c = 12
Chứng minh trong ba phương trình sau: x2 + ax + b = 0; x2 + bx + c = 0; x2 + cx + a = 0, có ít nhất một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm.
Chuyên đề phương trình, bất phương trình vô tỷ.
