Mở rộng công thức Vectơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng

Bài viết này xin được bàn với các thầy cô giáo và các em học sinh một hướng khai thác và mở rộng công thức cơ bản trong SGK để từ đó phát triển thêm các bài toán mới rất thú vị

I. CÔNG THỨC MỞ RỘNG 

         Trong SGK Hình Học lớp 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục năm 2006, trang 20 có Bài toán 2 như sau:

Bài toán 2:  (SGK)    Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có 

                                                                            (a)

    Như đã quy ước, ta ký hiệu:

    BC = a, CA = b, AB = c là độ dài các cạnh của tam giác ABC.

    G, H lần lượt là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

    O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    I, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

     Bây giờ, bình phương vô hướng hai vế của công thức (a) ta được:

       (a’) 

Áp dụng kết quả sau:

         Với mọi vectơ  ,  ta có:  

Ta được:

                

                

                

Khi đó công thức (a’) trở thành:

                 

Từ đó ta được hai định lí sau là sự mở rộng của Bài toán 2 ở trên:

Định lí 1: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với điểm M bất kì ta có

                 (i)

Định lí 2: Với mọi tam giác ABC và với mọi điểm M ta luôn có bất đẳng thức:

                

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi điểm M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.

    Tiếp theo chúng ta xem ứng dụng của các công thức (i) và (ii) như thế nào?

Xin mời các thầy  cô và các em học sinh xem chi tiết phần II ở file đính kèm.

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế